Un poco de historia...
Newton resolvió el problema de movimiento de dos cuerpos, específicamente el movimiento de la tierra alrededor del sol, dando la ley del inverso del cuadrado para la atracción de gravedad entre ambos.
Después muchos otros matemáticos y científicos trataron de resolver el problema de movimiento para tres cuerpos pero este problema resultó mucho más dificil y después de décadas de esfuerzo se llegó a la conclusión de que es practicamente imposible de resolver, en el sentido de obtener fórmulas explícitas para el movimiento de los cuerpos.
A finales de 1800, Poincaré introdujo un nuevo punto de vista enfatizando preguntas cualitativas y no cuantitativas[1]
¿Los planetas girarán alrededor del sol siempre o algunas vez saldrán disparados fuera del sistema solar?
Poincaré desarrollo un enfoque geometrico para analizar ese tipo de preguntas que al final se convertiría en lo que actualmente es el área de la dinámica.
Poincaré también fue la primer persona en introducir la posibilidad del caos en donde un sistema deterministico exibe un comportamiento periódico que depende de las condiciones iniciales y que su predicción resulta imposible despues de un tiempo [1]
Durante la primera mitad del siglo XX lo más llamativo para los científicos fue el área de la dinámica con las oscilaciones no-lineales, las cuales jugaron un rol muy importante en el desarrollo de la radio, láseres, radares, entre otras cosas.[1]
En 1963, con el avance en las computadoras, el meteorólogo Edward Norton Lorentz descubrió que pequeños cambios pueden modificar enormemente el resultado de un sistema caótico como lo es el clima.
En su libro "La esencia del caos" cuenta que durante su investigación sobre modelos matemáticos simples para aplicarlos al tiempo atmosférico, decidió repetir un cálculo cuyos resultados acababan de salir de la computadora. Después de un tiempo, descubrió que los resultados obtenidos diferían a los que había obtenido previamente, con pequeños cambios al inicio y un resultado totalmente diferente después.
Después se percató de que los datos que el introdujo eran los valores redondeados de la primer medición, estos pequeños cambios desencadenaron el caos en las mediciones.[2]
[1] Strogatz, S., n.d. Nonlinear dynamics and chaos. 2nd ed. CRC press.
[2] Conocimiento, V. A. (2019, 4 junio). Cuando Lorenz descubrió el efecto mariposa. OpenMind. https://www.bbvaopenmind.com/ciencia/grandes-personajes/cuando-lorenz-descubrio-el-efecto-mariposa/
Veamos un ejemplo
Durante la década de 1970, May encontró ejemplos de caos en mapas iterativos provenientes de sistemas de población y escribió un artículo sobre la importancia de estudiar sistemas simples no-lineales para evitar la errónea intuición de un sistema de población lineal frecuentemente enseñado en las escuelas [1]
c > 0
Ley para un modelo de población linear
Si queremos hacer la conexión de la poblacion en cualquier momento dependiendo de la población inicial y siguiendo la misma ley
En un sistema de población lineal, la población en determinado momento es proporcional a la poblacion de un momento anterior
Aplicación logística
Un modelo más complejo es el conocido mapa Logístico
Fue estudiado en 1845 por P. F. Verhulst como un modelo de crecimiento poblacional.
Él supuso que la población en el año "n" era la población que esta normalizada. Así, para encontrar la población del siguiente año es razonable pensar que los nuvos nacimientos son proporcionales a la población actual . El parámetro "r" representa las condiciones como tasa de fertilidad, enfermedades, etc.
[3] 📖Mapa logístico. (s. f.). Wikipedia. Recuperado 24 de septiembre de 2021, de https://es.wikinew.wiki/wiki/Logistic_map
[4] Tufillaro, N. B., Abbot, T., & Reilly, J. (1992). An Experimental Approach to Nonlinear Dynamics and Chaos/Book and Disk (Har/Dis ed.). Perseus Books (Sd).
Comportamiento de la población a lo largo del tiempo (i). Para una población inicial de 0.1
El comportamiento depende mucho del parámetro "r" y varía de [0, 4].
Para entender un poco la gráfica aclaremos que pensamos un mapa que genera una secuencia de puntos con un punto inicial que afecta el comportamiento final.
Al tener la ecuación parecería fácil estudiar el comportamiento de la población en el tiempo: para algunos valores de "r" puede resultar fácil, pero para otros, el comportamiento puede ser muy caótico
No hay una definición clara sobre este término pero los científicos concuerdan en las siguientes características:
1. Colección densa de puntos con órbitas periódicas
2.Las condiciones iniciales afectan mucho al sistema
3. Determinismo. Un sistema que dadas las condiciones iniciales siempre dará el mismo resultado
¿Qué es caos?
[4] Mathworld.wolfram.com. 2021. Chaos -- from Wolfram MathWorld. [online] Available at: <https://mathworld.wolfram.com/Chaos.html> [Accessed 10 October 2021].
[5] Colaboradores de Wikipedia. (2021, September 25). Teoría del caos. Wikipedia, la enciclopedia libre. https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_del_caos
Una herramienta muy útil para poder estudiar los sistemas dinámicos, como el mapa logístico, es un diagrama de telaraña (Cobweb).
De manera cualitativa podemo ver los "puntos fijos", podemos saber si son "estables" o "inestables". Podemos ver las órbitas y los periódos de las órbitas, y podemos ver el comportamiento caótico de otra manera.
Cuando veo las imágenes creo que sé dónde hay caos.
Seguro esto es caos
y esto
Precisamente, y son las imágenes donde los puntos estan más dispersos y en muchos lugares diferentes. Justo lo contrario a un "punto fijo"
Entonces un punto fijo seguro es esto
¿Y si no fuera estable, qué sería?¿Algo así?
Exacto, un punto fijo es un punto que es mapeado por la función al valor de sí mismo
Además en un diagrama de telaraña puedes ver que este punto es estable porque todos los puntos rosas, terminan en él, es decir, convergen hacia él. Esto también lo hace un atractor
Ese sería un repulsor o un punto fijo inestable.
Puedes fijarte como parece que los rectangulos se alejan del centro. El centro es el repulsor
Para ese valor de "r" que me mostraste (r = 3.2) recuerda que el comportamiento es:
¿Notas que después de un tiempo en el que todo se estabiliza hay dos puntos que ahora son recurrentes?
Como son dos puntos se dice que esta es una orbita de periodo 2
Entonces para r = 3.5 son como 4 ¿verdad? Eso quiere decir una orbita de periodo 4
La siguiente imagen es un diagrama de bufurcación para una población inicial de .1, en este diagrama se pueden ver los putnos fijos en rojo, si coinciden con el diagrama de bifurcación son atractores y si no son repulsores y los puntos que actuán como atractores son los que van generando la imagen
Interesante ¿no?
Científicas en la sombra
Ellen Fetter
Recientemente se encontró en la famosa publicación de Lorentz sobre sus resultados 'caóticos', un especial agradecimiento a Ellen Fetter por sus cálculos numéricos. Al igual que a muchas mujeres de la época, su crédito en el primer trabajo registrado sobre el caos fue considerado más mecánico que intelectual. Gracias a los conocimientos computaciones y de cálculo de ellas, podemos ver cómo las ciencias computaciones, y en particular la física computacional ha revolucionado ciencias como la meteorología, ecología o la astrofísica.
Ellen Fetter nació en 1940 en Estados Unidos, se graduó del programa de matemáticas del Mount Holyoke College en Massachusetts. Recién graduada fue contratada por Margaret Hamilton en el MIT, fue allí cuando empezó a trabajar con Lorenz en su celebrado proyecto del caos. Incluso fue ella quien diseñó las presentaciones gráficas de los resultados obtenidos, incluyendo la emblemática figura que asemeja las alas de una mariposa.
Margaret Hamilton
Recién graduada del Earlham College del curso de Matemáticas llegó al MIT a trabajar en los proyectos de Lorenz en la recien salida computadora LGP-30. Margaret y Lorenz se enseñaron a sí mismos a programas en ella sin conocimientos de programación. Fue la encargada de la contratación de Ellen Fetter al equipo.
Después de que Ellen Fetter se uniera, Margaret se convirtió en la primera 'ingeniera de software', y en 1965 se unió al equipo de la NASA para las misiones Apolo. Siendo la responsable principal del desarrollo de software de navegación de los ordenadores del equipo.
Fue pionera de muchos conceptos que se siguen utilizando en el diseño de Software, además de aportar en gran manera a la teoría computacional en cuestiones de tolerancia de fallos y la fiabilidad de encriptación.
[5] Sokol, J. (2020, May 20). The Hidden Heroines of Chaos. QuantaMagazine. Retrieved October 16, 2021, from https://www.quantamagazine.org/hidden-heroines-of-chaos-ellen-fetter-and-margaret-hamilton-20190520/
[6] Stadler, M. M. (2021, September 2). Ellen Fetter, la programadora que ayudó a dibujar la mariposa que aletea en la teoría del caos. Mujeres con ciencia. https://mujeresconciencia.com/2021/09/02/ellen-fetter-la-programadora-que-ayudo-a-dibujar-la-mariposa-que-aletea-en-la-teoria-del-caos/
[7] Stadler, M. M. (2016, August 17). Margaret Hamilton, informática. Mujeres con ciencia. https://mujeresconciencia.com/2016/08/17/margaret-hamilton-informatica/